V. – La quantification de l’atome

I. L’ENERGETIQUE

Dans le chapitre précédent, je montre que le modèle de RUTHERFORD présentait sur celui de THOMSON l’avantage de ne faire intervenir que les forces coulombiennes pour expliquer la stabilité de l’atome, et que selon la théorie de MAXWELL-LORENTZ, les électrons devaient inévitablement tomber sur le noyau, contrairement à l’observation.

Durant ces années où l’atomistique se développait avec un certain bonheur, un courant scientifique d’opposition, l’énergétique, s’attaqua à ces mécanistes auxquels il reprochait une interprétation trop concrète, trop imagée des phénomènes. Pourquoi adopter une représentation granulaire pour décrire l’atome ? Pour les énergétistes, « Matière et mouvements, tels sont les deux concepts auxquels on ramène en dernière analyse les phénomènes naturels les plus complexes ». Leur chef de file, l’Allemand Wilhem OSWALD, constatait dans son livre “L’Energie” qu’avant cette nouvelle approche, « tous les savants adhéraient à la conception mécaniste, c’est-à-dire à l’idée que les phénomènes naturels sont tous, en dernière analyse, de nature mécanique, qu’ils n’en est pas qui ne puissent se ramener à des mouvements de la “matière” ».

Et de poursuivre :

« Aujourd’hui encore, il y a un très grand nombre de physiciens qui, comme leurs devanciers d’il y a deux mille ans (DEMOCRITE et LUCRECE), voient dans la « mécanique des atomes » le dernier mot de la science.
L’hypothèse mécaniste a deux inconvénients très considérables; d’abord elle force à adopter un grand nombre d’autres hypothèses indémontrables, et ensuite elle est impuissante à faire comprendre la liaison qui existe incontestablement, car nous le constatons journellement, entre les phénomènes physiques dans le sens étroit du mot et les phénomènes psychologiques
».

Ce courant de pensée basé sur la proposition fondamentale que, dans un système isolé, l’énergie se conserve (première loi), mais se dégrade (deuxième loi) portera la thermodynamique au premier rang de la science moderne. Dans cette théorie de la chaleur, « tous les phénomènes de la nature sont conçus et représentés comme des opérations effectuées sur les diverses énergies » (OSWALD). Les principaux artisans de cette doctrine sont les Anglais RANKINE et MAXWELL, les Français MASSIEU, DUHEM, H. POINCARE, GOUY, LE CHATELIER, les Allemands NERNST, OSTWALD, PLANCK, l’Autrichien MACH…

Il ne faut pas considérer cette résistance des énergétistes aux théories atomiques et aux modèles qu’elles entraînent comme un combat d’arrière-garde, mais plutôt comme l’ouverture d’une voie vers une autre conception de l’atome qui englobera les nouvelles théories quantique et relativiste, dont BOHR sera le précurseur. Il construira un ultime modèle mi-classique et mi-quantique, le dernier du genre.

II. UN JEUNE PHYSICIEN BOUSCULE LE LANDERNEAU DES PHYSICIENS

En 1913, apparaît sur la scène scientifique, un jeune chercheur danois qui osera mettre en doute les théories classiques dans l’approche du modèle atomique. Il s’agit de Niels BOHR, né à Copenhague le 17 octobre 1885. Très tôt, il baigna dans une atmosphère familiale propice à son développement intellectuel. Son père Christian, éminent professeur de physiologie à l’université de la ville, se passionnait pour la physique. Il travaillait sur l’analyse quantitative des processus physiques sous-jacents aux fonctions physiologiques. Il initia son fils à cette science, qui prit ainsi conscience des exigences de la physique expérimentale, et découvrit une approche philosophique aux problèmes de fond que peuvent poser les sciences dans leur développement même.

En 1903, il s’inscrivit tout naturellement à la faculté de physique de l’université de Copenhague, où il se fit remarquer par sa passion pour les mathématiques et la physique. Le premier travail qu’il entreprit en tant qu’assistant de son professeur, sur la tension superficielle des liquides, lui valut une médaille d’or de l’Académie des Sciences du Danemark. En 1911, il défendit sa thèse de doctorat intitulée « Etude sur la théorie des électrons dans les métaux ».Le métal y était modélisé par un nuage d’électrons évoluant librement entre des atomes chargés positivement. Ce modèle lui permit de déduire de nombreuses propriétés des métaux, mais certaines lacunes de cette théorie l’amenèrent à soupçonner les principes de l’électrodynamique de recéler une insuffisance radicale.

En 1912, BOHR rejoignit le laboratoire de RUTHERFORD à Manchester. Les physiciens y étaient préoccupés par les conséquences du nouveau modèle d’atome planétaire conçu par RUTHERFORD. BOHR saisit la relation qu’une telle modélisation impliquait, à savoir un noyau concentré entouré d’un nuage d’électrons à grande distance, entre le nombre des électrons et le numéro atomique de l’élément dans la classification périodique.

III.  LE MYSTERE DES RAIES SPECTRALES

Comme nous l’avons vu dans le chapitre précédent, le modèle de RUTHERFORD présentait un certain nombre de contradictions avec la réalité. La question primordiale était de trouver le moteur qui maintenait l’atome stable en dépit des lois de l’électromagnétisme et qui permettait à l’atome d’émettre un rayonnement discontinu selon des raies caractéristiques. Très vite, le jeune BOHR comprit les rapports qui existaient entre ce deuxième mystère et celui qui planait sur une discipline pourtant ancienne qu’était la spectroscopie. NEWTON, déjà, avait soutenu que la lumière blanche passant au travers d’un prisme se décomposait en « constituants homogènes ». Les fondateurs de la spectroscopie moderne furent BUNSEN et KIRCHHOFF, tous deux professeurs à l’université de Heidelberg en Allemagne. FRAUNHOFER et d’autres chercheurs avaient remarqué qu’en introduisant un sel dans une flamme des lignes mystérieuses apparaissaient au spectroscope. Il ne leur vint pas l’idée que ses « raies spectrales » étaient dépendantes des éléments composant les sels. Ce furent nos deux compères qui, en 1859, réalisèrent que celles-ci caractérisaient le corps émetteur et permettaient d’en tirer sa composition chimique.

Vers 1885, un certain Johann Jacob BALMER, obscur maître d’école suisse, fasciné par le mystère de ces raies, consacrera le reste de sa vie à leur étude. Notre passionné définira une première loi numérique à partir de la formule empirique qui fournissait la longueur d’onde λn des quatre raies visibles du spectre de l’atome d’hydrogène, seules raies connues à l’époque :

quanta-équ1

dans laquelle, υ = fréquence, c = vitesse de la lumière, R = constante de Rydberg.

En donnant à n les valeurs successives 3, 4, 5…, BALMER retrouvait les fréquences spectrales de la lumière visible de l’hydrogène observées. Très vite cette loi se généralisera selon la forme :

quanta-équ2

m = 1, 2, 3… et n = m +1, m + 2, m + 3… On obtient ainsi toutes les fréquences visibles et non visibles de l’hydrogène.

Cette formule est surprenante, d’une part par sa simplicité et d’autre part par l’utilisation de nombres entiers. En physique, les nombres entiers n’apparaissent que dans des situations très particulières comme par exemple dans l’étude des phénomènes de diffraction typiquement ondulatoires.

Raies spectrales-fig.28

Fig. 28 – Raies spectrales émises par un gaz d’hydrogène placé dans un tube dans lequel on provoque une décharge électrique


En 1908, RITZ arriva à un énoncé général permettant de trouver pour chaque atome une suite de nombres N1, N2, N3… appelés termes spectraux, tels que toute fréquence du spectre de cet atome s’exprime comme la différence entre Nm – Nn entre deux de ces termes spectraux.

Depuis lors, cette propriété d’émission des atomes est utilisée en astronomie pour l’analyse de la composition des corps célestes.

De retour à l’automne 1912 à Copenhague, le jeune BOHR s’attacha durant les années 1913 à 1915 à l’élaboration d’un nouveau modèle. Son idée était, à partir du modèle de RUTHERFORD d’introduire l’émission spectrale de la lumière. Pour y arriver, il rejeta le principe de relations commandées par les lois de l’électromagnétisme classique, au profit des quanta d’action de Max PLANCK.

IV.  LES QUANTA DE PLANCK

C’est à Max PLANCK que revient l’honneur de jeter les bases d’une nouvelle théorie, la théorie des Quantum, qui devait donner un grand nombre de résultats nouveaux.

En 1860, le physicien KIRCHHOFF soumit à ses collègues une nouvelle énigme. Il posa la question suivante : pourquoi un corps de plus en plus chaud passe-t-il au rouge sombre, au rouge clair puis au blanc ? Fait que nous avons tous pu constater. Dans ce cas, le rayonnement émi est toujours constitué d’un ensemble continu de fréquences qui s’étendent de l’infra-rouge à l’ultra-violet. Comment varie le rayonnement en fonction de la fréquence, et quels sont les facteurs dont dépend cette « distribution spectrale » ?

Pour analyser ce problème, KIRCHHOFF créa le concept de « corps noir », corps idéal constitué d’une enceinte portée à une certaine température et qui absorbe la totalité du rayonnement qu’il reçoit, et que l’on peut simuler par la figure ci-après (fig. 29). Notre physicien montra que la densité d’énergie et la composition spectrale d’un rayonnement électromagnétique émis par ce corps ne dépendent que de la température de l’enceinte et non de sa forme, ni de sa nature. En d’autres mots, la densité de rayonnement ρ est une fonction universelle de la fréquence v et de la température T.

corps noir-fig 29

Fig. 29 – Corps noir simulé à l’aide d’un trou dans une cavité


De nombreux scientifiques chercheront à résoudre cette fonction ρ (v, T).

Ainsi, la loi de Stefan-Boltzmann, trouvée expérimentalement par STEFAN (1879), expliquée théoriquement par BOLTZMANN (1884) montre l’influence de la température sur le rayonnement total : l’énergie totale rayonnée sur toutes les longueurs d’onde par 1 cm² de surface de corps noir est proportionnelle à la quatrième puissance de la température absolue : W = kT4 (k étant la constante de Stefan = 5,672.10-8). Tandis que la loi de WIEN (1893) permet d’exprimer également en fonction de la seule température la longueur d’onde du maximum d’émission : Imax.- x T = 2897,8 μm.K

Signalons que ces deux lois sont classiquement utilisées par les astronomes pour classer les étoiles selon leur couleur et leur luminosité.

Ces deux lois empiriques peuvent se traduire par la courbe reprise dans la figure ci-dessous (fig. 30), qui représente l’énergie spectrale d’un corps noir.

densité d'énergie-fig.30

Fig. 30 – Densité d’énergie spectrale d’un corps noir


Cette figure (fig. 30) confirme que la fréquence pour laquelle la densité d’énergie est maximale est une fonction de la température. La surface intérieure de chaque courbe représente la somme des énergies rayonnées correspondant à une longueur d’onde λ pour une température donnée soit :

quanta-équ3

Max PLANCK se pencha aussi sur le problème du corps noir. Il voulait théoriquement rendre compte de cette courbe Eλ en forme de cloche, qui donnait une puissance rayonnée finie. Il choisit pour son étude le plus simple des émetteurs d’ondes électromagnétiques, un oscillateur harmonique linéaire de fréquence propre v, constitué d’un électron pouvant osciller sur un segment de droite autour d’une position d’équilibre, dont les parois de l’enceinte étaient constituées (fig. 31). En chauffant l’enceinte, tous les oscillateurs vibrent selon leur fréquence propre; les charges électriques accélérées rayonnent alors dans la cavité, selon les lois de Maxwell, et chaque oscillateur absorbe le rayonnement émis à sa fréquence propre. Un équilibre s’établit de sorte que chaque oscillateur d’une certaine fréquence absorbe autant d’énergie en provenance de la cavité qu’il n’en émet dans celle-ci.

oscillateur
Fig. 31 – Le type le plus simple d’oscillateur se compose d’une particule électrisée de charge e et de masse m attiré par un centre fixe proportionnel à la distance. Le mouvement de la charge est alors défini par : x = A sin ωt

A l’aide des lois de la mécanique et de l’électromagnétisme PLANCK détermina l’énergie moyenne E d’un oscillateur en équilibre avec le rayonnement de la cavité. Il obtint la formule suivante :

quanta-équ4

dans laquelle : E = énergie moyenne d’un oscillateur; υ = fréquence de l’oscillateur considéré; ρ = valeur du rayonnement pour la fréquence de l’oscillateur; c = vitesse de la lumière dans le vide.

A partir de cette formule PLANCK chercha à déterminer E d’une autre manière afin d’obtenir ρ. Pour cela, il rechercha E à l’aide de considérations thermodynamiques et statistiques sur l’ensemble des oscillateurs de la cavité. Ce qui l’entraîna à émettre les hypothèses révolutionnaires suivantes :

1° L’énergie d’un oscillateur ne peut être qu’un multiple entier du produit de sa fréquence par une « constante universelle h », la constante de Planck égale à 6,55.10-27. Le produit de h par la fréquence est ce qu’il appela un « quantum d’énergie » : E = hυ ;

2° Les quanta se distribuent au hasard parmi les oscillateurs de même fréquence. Un oscillateur a d’autant plus de chances de posséder un nombre déterminé de quanta que sa fréquence est plus faible.

3° Un oscillateur de fréquence f frappé par une radiation de même fréquence l’absorbe, et son énergie se trouve augmentée d’autant de quanta qu’en transportait la radiation absorbée.

Avec son quantum d’action, qui restreignait le nombre des mouvements de ses oscillateurs, PLANCK (1900) parvint à retrouver les résultats des expériences de ses prédécesseurs. Après la matière et l’électricité, l’énergie à son tour se révélait de nature discontinue.

Deux formes possibles se présentaient pour cette toute nouvelle théorie :

1) Les échanges d’énergie entre matière et rayonnement se font par quanta (absorption et émission). Le rayonnement a alors une structure discontinue (voir 1 de la fig. 32).

2) L’absorption est continue, il y a accumulation de manière continue de l’énergie radiante. Par contre l’émission se fait par quanta (2 de la fig. 32).

La deuxième forme semblait la plus plausible si l’on tenait compte des expériences montrant le caractère ondulatoire de la lumière. Et pourtant, un nouveau chambardement s’annonçait avec l’étude du phénomène photoélectrique.

echange

Fig. 32 – Echange d’énergie entre matière et rayonnement


V.  EINSTEIN EXPLIQUE L’EFFET PHOTOELECTRIQUE

En 1887, HERTZ découvrit un phénomène qui embarrassait les physiciens et qui semblait remettre en question la nature ondulatoire de la lumière.

Ils avaient remarqué qu’un objet éclairé émettait des électrons et que le nombre de ceux-ci était fonction de l’intensité lumineuse. Par contre l’énergie dépendait de la fréquence du flux lumineux. Selon les expériences habituelles, ils considéraient la lumière comme un ensemble d’ondes de fréquence déterminée que l’on pouvait séparer par le passage au travers d’un prisme.

En 1905, le jeune EINSTEIN adopta une toute autre interprétation pour expliquer le phénomène de photoélectricité : il introduisit une conception corpusculaire de la lumière, à savoir que l’absorption du rayonnement par la matière se fait de façon discontinue et ce rayonnement a une structure corpusculaire, l’énergie radiante étant proportionnelle à la fréquence du rayonnement :

E = hυ (5)


A ces grains de lumière, il donnera le nom de « licht-quantum » qui, en 1926, seront dénommés « photon » par le physico-chimiste américain Gilbert LEWIS. Ces quantum de lumière peuvent être à même d’arracher un électron à la matière qu’ils rencontrent. L’énergie cinétique W de l’électron extrait est donnée par la formule :

W = hυ – E (6)


E étant l’énergie nécessaire pour l’expulser. On constate que cette énergie cinétique ne dépend que de la fréquence υ du rayonnement incident.

Toutefois, les phénomènes d’interférences et de diffraction s’expliquent uniquement par un jeu d’ondes. Ces constatations plaident en faveur d’une double nature de la lumière, corpusculaire et ondulatoire.

Dans la définition du grain de lumière E = hυ, il apparaît un élément non corpusculaire, la fréquence. La théorie ondulatoire imprègne encore la théorie corpusculaire et rend par là toute image impossible. Il faudra attendre Louis DE BROGLIE et la nouvelle Mécanique ondulatoire pour unifier les deux points de vue.

VI.  « LES POIS SAUTEURS » DE BOHR

Tout est prêt pour permettre à notre jeune physicien danois Niel BOHR, en 1913, d’établir un nouveau modèle d’atome. Comme PLANCK avait quantifié le rayonnement, il quantifia l’atome. Afin de lever les contradictions constatées dans le modèle de RUTHERFORD, stabilité de l’atome et existence de raies d’émission, il appliqua à la théorie de l’atome les idées quantiques de PLANCK et d’EINSTEIN; ses idées peuvent se grouper selon une série de postulats :

• il conserva l’atome planétaire de RUTHERFORD avec ses orbites képlériennes circulaires ;

• il considéra les mouvements stables des électrons comme des mouvements quantifiés qui correspondaient à des états stationnaires caractérisés par un nombre entier n et un niveau énergétique correspondant En. En conséquence, l’énergie d’un atome ne peut prendre qu’un certain nombre de valeurs discontinues croissantes : E1, E2,… En appelés niveaux d’énergie. On ne peut jamais observer de valeurs intermédiaires entre deux niveaux d’énergie ;

• lorsque les électrons se trouvent sur les orbites stationnaires, ils ne rayonnent pas ;

• il y a rayonnement uniquement lors du passage d’un électron d’une orbite à l’autre, d’un état n à un autre n’. Dans ce cas il y a émission d’un quantum d’énergie égal à hv = En – En’. Lorsqu’un atome passe d’un niveau d’énergie En à un niveau inférieur d’énergie Ep, un photon d’énergie np est émis. Toute l’énergie que l’atome a perdue se retrouve dans le photon émis. Le principe de conservation de l’énergie appliqué à l’atome donne : np = En – Ep.
De même, pour qu’un atome passe d’un niveau d’énergie Ep à un niveau d’énergie En supérieure, il faut lui fournir de l’énergie sous forme d’un photon d’énergie np, tel que : np = En – Ep = hc, où υ est la fréquence de l’onde lumineuse associée aux photons, h la constante de Planck, c la vitesse de la lumière et λ la longueur d’onde.

Son premier exercice sera consacré à l’étude de l’atome le plus simple, celui de l’hydrogène qui ne possède qu’un seul électron. Utilisant la même règle formelle qui avait réussi à PLANCK, il trouva que les fréquences de toutes les raies spectrales de l’hydrogène s’exprimaient par la formule générale :

qanta-équ7

dans laquelle m et n > m sont des nombres entiers, e et M la charge et la masse de l’électron, h la constante de Planck et π le nombre habituel 3, 14. Désignant par R la constante :

quanta-équ8BOHR écrivit son résultat sous la forme :quanta-équ9

qui est en parfaite analogie avec la formule de BALMER (2). Un premier pas était fait, on pouvait calculer les différentes orbites stables sur lesquelles l’électron pouvait graviter autour du noyau. Il restait à déterminer l’énergie de chacune d’elles. L’énergie correspondante à l’orbite caractérisée par le nombre entier n est alors :

quanta-équ10

Z étant la charge de l’électron.

On voit que l’énergie est proportionnelle à z²/n², elle diminue lorsque n augmente, c’est-à-dire lorsque l’on s’éloigne du noyau.

Rappelons que l’émission ou l’absorption d’un photon d’énergie hυ résulte d’un saut quantique d’une orbite à l’autre et fait varier l’énergie d’un électron d’une quantité :

Em – En = hυ   (11)

selon le quatrième postulat de BOHR énoncé plus haut.

niveaux énergétiques
Fig. 33 – Les niveaux énergétiques de l’atome d’hydrogène selon la théorie de Bohr. Les flèches représentent les transitions quantiques d’un électron passant d’une orbite de plus haute énergie à une autre de plus basse énergie. L’énergie en excès est émise sous forme de lumière d’une longueur d’onde caractéristique du changement d’énergie. Les trois transitions Hα, Hβ et Hγ qui conduisent au second niveau d’énergie correspondent à des raies de la série de Balmer figurant en haut – la seule série qui se trouve dans le spectre visible.

Dans ce cas, un seul nombre (n) caractérise l’électron dans l’atome :

n = 1                                                                  couche K                     énergie de liaison EK

n = 2                                                                                  L                                                          EL

n = 3                                                                                  M                                                         EM


Relevons que dans le modèle de BOHR, on n’envisageait pas l’étude de la structure du noyau et que les constituants de celui-ci seront découverts bien plus tard.

Le modèle de BOHR était séduisant, bien que bâti sur la négation de l’électromagnétisme classique. Pourtant l’image était incomplète. En effet notre physicien ne prenait en considération que des orbites parfaitement circulaires. L’expérience montra les limites de cette vision. On commençait à parler de structure fine de certaines raies spectrales.

En 1916, le physicien allemand Arnold SOMMERFELD (1868-1951) entreprit leur étude. Il quantifia les orbites elliptiques et le mouvement du noyau par rapport au centre de gravité de l’atome. De plus, il devait enrichir la théorie des quantum en introduisant un nouvel outil d’une importance capitale : la relativité, pour traiter du mouvement de l’électron sur ses orbites, en utilisant la loi de variation de la masse avec la vitesse. Il fut amené à admettre qu’à chaque niveau principal énergétique il pouvait y avoir plusieurs orbites. Les orbites d’une même couche se différenciaient par leur forme et correspondaient à des énergies légèrement différentes.

Dans l’expression donnant l’énergie de l’électron interviennent cette fois deux nombres quantiques n et l, ce dernier pouvant prendre toutes les valeurs entières de 0 à n-1 :

quanta-équ12

où En est l’énergie de BOHR, α une constante de structure fine. On voit qu’ici l’énergie En, l dépend de 2 paramètres n et l.

Dans ce cas, les orbites sont représentées par les lettres : s, p, d, f, g… On voit que le niveau d’énergie K ne se dédouble pas car l ne peut prendre qu’une valeur 0. Pour L, le nombre l sera 0, 1 soit deux valeurs (voir le petit tableau ci-après).

atome Sommerfeld

Fig. 34 – L’atome selon SOMMERFELD


atome Sommerfeld-tableau

VII.  LES LIMITES DU MODELE BOHR-SOMMERFELD

SOMMERFELD réussit brillamment à résoudre mathématiquement le problème de la structure fine du spectre de l’atome d’hydrogène. Toutefois sa théorie s’avérait encore insuffisante pour l’interprétation de tous les faits expérimentaux observés.

On constata qu’il y avait lieu de différencier les orbites de même forme et de même énergie suivant leur comportement dans un champ magnétique. C’est l’effet Zeeman.

Le physicien hollandais P. ZEEMAN (1865-1943) avait, dès 1896 constaté un élargissement des raies spectrales sous l’action d’un champ magnétique, qui s’avéra être un triplet de raies et parfois même un nombre plus grand de celles-ci. Cette action se présentait comme un phénomène d’une grande complexité et l’interprétation des résultats expérimentaux étaient particulièrement difficiles. La théorie de BOHR ne permettait de rendre compte que d’une partie de cet effet (effet Zeeman normal), en nécessitant l’adjonction d’un nouveau nombre quantique : le nombre magnétique représenté par la lettre m. L’effet Zeeman anormal restait inexpliqué, les structures fines se montraient plus riches que ne le laissait prévoir la théorie. Il faudra attendre 1925 pour sortir de l’impasse. Nous y reviendrons

Dans un champ électrique, la situation est toute différente : c’est l’effet STARK. Le physicien allemand J. STARK, en substituant l’électricité au magnétisme, découvrit, en 1913, que le champ électrique produisait également une décomposition des raies spectrales comme le champ magnétique, mais l’écart des raies était relativement considérable. La différence des longueurs d’onde atteignait dix unités Angström, tandis que, dans l’effet Zeeman, elle ne dépassait jamais quelques dixièmes d’unités. Là aussi, la théorie de BOHR ne répondait pas à toutes les attentes.

Nous avons vu que la théorie de Bohr-Sommerfeld ne pouvait expliquer complètement la structure fine des raies spectrales; de plus, elle ne donnait aucune interprétation de l’intensité de ces raies. Afin de s’en sortir, BOHR émit, en 1918, son principe de correspondance qui lui permettait d’établir une correspondance arbitraire avec la théorie classique de l’électromagnétisme. Par une série d’artifices mathématiques, BOHR parvint à déterminer les intensités de toutes les raies spectrales. Malgré ce principe, de nombreuses imperfections et ambiguïtés persistaient.

Nous sommes en 1923 et la théorie des quanta se trouvait dans une impasse; elle avait montré ses limites.

VIII.  LA SECONDE REVOLUTION DES QUANTA

La solution viendra de deux jeunes chercheurs, très différents d’esprit et de formation et qui ignoraient leurs travaux respectifs. L’un, le Français Louis DE BROGLIE, nourri des oeuvres d’EINSTEIN et de POINCARE, était un spécialiste des théories de l’optique et de la mécanique. L’autre, l’Autrichien Erwin SCHRÖDINGER, professeur de physique à l’université de Zürich et mathématicien brillant, était marqué par les idées de BOHR.

A. La dualité onde-corpuscule de la matière et la mécanique ondulatoire

A la suite des diverses observations faites au cours de ce chapitre, nous constatons que la lumière possède apparemment une double nature à la fois ondulatoire et corpusculaire. L’aspect ondulatoire se manifeste lors des phénomènes relevant de l’optique classique : réflexion, réfraction et diffraction. A la fin du XIXe siècle, les scientifiques considéraient la lumière comme purement ondulatoire. Au début du XXe siècle, l’étude de nouveau phénomène, tel que le rayonnement du corps noir par PLANCK ou l’effet photoélectrique par EINSTEIN conduisirent à reconsidérer la nature de la lumière et à lui redonner le statut corpusculaire que NEWTON lui avait attribué originellement. Nous l’avons vu plus haut, que selon cette théorie la lumière est composée de particules appelées photons et transporte une énergie proportionnelle à sa fréquence : E = hυ. Je vous rappelle que cette théorie corpusculaire contient une fréquence de nature ondulatoire.

Par ailleurs, je vous ai fait remarquer que la quantification introduite par BOHR dans son modèle d’atome fait apparaître des nombres entiers, or ceux-ci interviennent naturellement dans l’étude des phénomènes de diffraction typiquement ondulatoire.

« L’idée qui se trouve à la base de la mécanique ondulatoire est la suivante : par la relation fondamentale E = hυ, la quantification avait morcelé le rayonnement initialement caractérisé par la seule fréquence υ; la quantification, en pénétrant dans l’atome pour y définir des états stationnaires de l’électron, n’apportait-elle pas à l’ultime grain de matière un caractère ondulatoire ? »

Telle fut l’hypothèse émise en 1923 par Louis DE BROGLIE et qui le conduira à défendre sa thèse en 1924. Elle lui permit de généraliser sa conception de dualité onde-corpuscule à toute la matière en postulant qu’à toute particule de matière en mouvement était associée une onde dont la fréquence était reliée à la quantité de mouvement p = mυ selon la relation :

qanta-équ13
Comment DE BROGLIE est-il arrivé à ce résultat ?

Rappelez-vous qu’une nouvelle théorie venait de révolutionner la physique, c’était la théorie de la relativité d’EINSTEIN. Celle-ci faisait entre autre correspondre masse et énergie selon la célèbre formule :

E = mc² (14)


Le photon doit satisfaire les deux égalités simultanément, celle d’EINSTEIN et celle de PLANCK :

E = mc² et E = hυ


De là, il put tirer sa relation en remplaçant υ par c/λ.

L’utilisation de ces ondes de DE BROGLIE permit notamment de retrouver la condition de quantification utilisée par BOHR. A un électron caractérisé par la quantité de mouvement p, il fallait associer une onde de longueur d’onde λ. L’électron en tournant sur son orbite circulaire est accompagné de son onde qui tourne avec lui. Pour que celle-ci soit stationnaire, il faut qu’elle soit en phase avec elle-même. Cette condition ne sera remplie que si la longueur de la trajectoire contient un nombre entier de fois la longueur d’onde.

Soit :
quanta-équ15a
et finalement :
quanta-équ15
trajectoire électron

Fig. 35 – Représentation de la trajectoire d’un électron autour du noyau et de son onde associée


On retrouve la condition de quantification du moment cinétique postulée par BOHR, mais selon une explication rationnelle. Le succès de ce raisonnement marqua le début d’une nouvelle science, la mécanique ondulatoire.

B. L’équation de Schrödinger

De son côté, Erwin SCHRÖDINGER avait entrepris des travaux sur l’équilibre statistique des gaz et de rayonnements qui étaient en relation étroite avec ceux d’Albert EINSTEIN. En 1926, quand il prit connaissance de la thèse de DE BROGLIE, il établit l’analogie entre le schéma mathématique de la mécanique classique et celui de l’optique géométrique. Il simplifia les calculs en abandonnant la relativité et essaya de trouver une équation de fonction d’onde qui régissait le mouvement des ondes de matière. Il la trouva et en sept longs mémoires, élabora une nouvelle mécanique ondulatoire. Je vous donne, uniquement pour sa beauté, l’équation qui porte son nom :

quanta-équ16

dans laquelle, x, y et z sont les coordonnées cartésiennes de l’élément matériel, m étant sa masse et h la constante de PLANCK.

Cette équation de SCHRÖDINGER constitue le fondement même de la nouvelle mécanique ondulatoire. Sa résolution est très ardue. Dans le cas de problème à un seul électron comme l’atome d’hydrogène, on peut la réécrire de la manière suivante :

quanta-équ17

x, y et z sont les coordonnées cartésiennes de l’électron dans un repère lié au noyau; m étant la masse de l’électron, E son énergie totale et V son énergie potentielle.

On peut résoudre cette nouvelle équation sans approximation ce qui permet de retrouver l’expression de l’énergie établie dans le modèle de BOHR-SOMMERFELD :

quanta-équ18

La résolution amène le plus naturellement les trois nombres quantiques n, l et m ainsi que les relations entre eux. Pour des systèmes à plus d’un électron la résolution est impossible sans avoir recours à des approximations.

La fonction d’onde par elle-même n’a pas de signification physique, en revanche la valeur de son carré en un point de l’espace détermine la probabilité de présence de l’électron dans un volume dV autour de ce point :

quant-équ19
Le rapport dp/dV = Ψ² est appelé densité de probabilité de présence de l’électron au point considéré.

C. Le principe d’exclusion de PAULI

Nous avons vu plus haut que la théorie de Bohr-Sommerfeld ne permettait pas d’expliquer l’effet Zeeman anormal. Pour sortir de l’impasse, il fallut introduire un paramètre supplémentaire dans la description de l’électron. Deux physiciens hollandais, ULHENBECK et GOUDSMIT conçurent l’électron comme une charge électrique qui tournait sur elle-même comme une toupie et possédait ainsi un moment angulaire de rotation ou moment cinétique propre qu’ils nommèrent « spin ». Les équations qu’ils trouvèrent en l’introduisant dans la théorie de BOHR-SOMMERFELD permirent de rendre compte de l’effet Zeeman anormal.

Dès 1924, le physicien autrichien Wolfgang PAULI proposa de rendre compte du spin en associant à l’électron une fonction d’onde Ψ à deux composantes correspondant aux deux orientations possibles du spin et obéissant à un système de deux équations fort semblables à celle de SCHRÖDINGER. Il en déduisit que le moment cinétique total de l’atome ne peut varier que d’un quantum h/2π en plus ou en moins, donc le spin de l’électron qui nécessite l’introduction d’un quatrième nombre quantique s, ne peut adopter que les valeurs +1/2 ou -1/2. De plus, il énonça un principe d’exclusion suivant lequel, deux électrons d’un même atome ne peuvent jamais avoir leurs quatre nombres quantiques (n, l, m, r) égaux en même temps.

D. Le principe d’incertitude de HEISENBERG

Werner HEISENBERG était un ancien élève de SOMMERFELD et il n’avait pas vingt-deux quand, en 1923, il fut nommé assistant de Max BORN à l’université de Göttingen. Imprégné de la philosophie radicale de son maître, qui contrairement à DE BROGLIE, préconisait qu’il fallait prendre les quantum tels qu’ils étaient, le problème n’étant pas de les expliquer mais d’apprendre à s’en servir, HEISENBERG élabora, en 1925, une nouvelle théorie dont l’outil mathématique était le calcul matriciel : la Mécanique matricielle. Grâce à un jeu complexe de tableau, il parvint à retrouver les différents résultats de ses collègues (DE BROGLIE, BOHR, SOMMERFELD) Je ne m’aventurerai pas plus avant car cela m’entraînerait à devoir développer sur plusieurs pages un raisonnement mathématique très ardu et sans intérêt dans le cadre de notre histoire.

Par contre, en s’appuyant sur les formules de l’ancienne théorie des quantum et sur les théories classiques, il fut amené à montrer qu’on ne peut connaître simultanément la quantité de mouvement d’une particule et sa position. Cette limite à la précision sur les mesures il l’exprima au moyen de certaines relations dites relations d’incertitude de HEISENBERG, énoncées en 1927.
Si Δx est l’incertitude sur la position et Δp l’incertitude sur la quantité de mouvement, l’inégalité suivante sera vérifiée :

quanta-équ20
Ces relations d’incertitude proviennent de la nécessité de faire intervenir les deux aspects ondulatoire et corpusculaire de la lumière.

E. La Mécanique quantique relativiste

La Mécanique ondulatoire de SCHRÖDINGER n’avait pu rendre compte du spin de l’électron. On a vu que c’est PAULI qui, au moyen d’une théorie non relativiste, résolut le problème. Dans l’équation de propagation de SCHRÖDINGER, figure avec la fonction d’onde Ψ associée à l’électron, l’énergie W de ce dernier. En Mécanique non relativiste, l’énergie W d’une particule est donnée en fonction de sa vitesse υ ou de sa quantité de mouvement p par :

quanta-équ21
ce qui correspond toujours à une valeur de W positive.

C’est ici que Paul DIRAC intervint. S’étant enflammé pour la théorie de HEISENBERG, il comprit en l’étudiant que l’importance des tables carrées n’étaient qu’accessoire et que le seul caractère essentiel consistait en ce que x x y différait de y x x.

Pour cela, il reprit la formule (21) qu’il transposa en mécanique relativiste, ce qui donna :

quanta-équ22

d’où :
quanta-éq23
ce qui permet à W d’être positif ou négatif.

Ensuite, il établit la forme relativiste de l’équation de SCHRÖDINGER et montra que la fonction d’onde Ψ était alors une grandeur à quatre composantes et que les équations qu’il en déduisait satisfaisaient la Relativité restreinte. De plus, elles contenaient implicitement le spin et le moment magnétique de l’électron résolvant ainsi l’effet Zeeman anormal.

Le 6 décembre 1929, DIRAC publiait une note intitulée « Théorie des électrons et des protons ». Il y remarque que :

« En théorie quantique, et la mécanique ondulatoire est une Mécanique quantique, l’énergie peut varier de façon discontinue, procéder par bond, et par conséquent franchir l’obstacle 2 m0c2, passant ainsi de W>0 à W<0 et réciproquement. Il n’y a pas de raison en mécanique quantique pour éliminer les solutions à énergie négative. »

Cela l’amènera automatiquement à concevoir l’existence d’une particule de charge positive et de même masse que l’électron qu’il appellera positon :

« face à l’électron classique on voit apparaître un antiélectron, l’électron positif ou positon. »

IX. CONCLUSION

A. Les nombres quantiques qui définissent un électron

En fait, un électron faisant partie de l’atmosphère d’un atome sera définit par quatre nombres quantiques : les trois premiers étant entiers et le quatrième étant égal à la moitié de l’unité.

1° Le premier est le seul que nos grossières représentations des atomes nous permettraient d’introduire. Nous avions distingué divers niveaux : K L M N O P Q; pour chaque niveau, on attribue à l’électron qui en fait partie le nombre quantique principal : n = 1 2 3 4 5 6 7.

2° Le second nombre est dit nombre secondaire l : lorsqu’un électron a son nombre principal égal à 4, son nombre secondaire peut être 0, 1, 2 ou 3 (mais jamais 4, ni supérieur à 4).

3° Le troisième nombre quantique est désigné par m et se nomme nombre magnétique (voir effet ZEEMAN). Ce dernier nombre peut prendre des valeurs négatives (inférieures à zéro). Ainsi, lorsque le nombre secondaire l est 3, le nombre magnétique m peut prendre les sept valeurs suivantes : -3 -2 -1 0 +1 +2 +3.

4° Enfin le quatrième nombre quantique r est lié au magnétisme propre de l’électron (voir principe d’exclusion de PAULI). Il ne pourra prendre que deux valeurs égales et opposées : -1/2 +1/2.

B. Nouvelle vision du monde matériel

En 1912, il n’existait aucune théorie valable de l’atome; en janvier 1926, il y en avait quatre : la Mécanique quantique de BOHR-SOMMERFELD et ses orbites stables, la Mécanique ondulatoire de DE BROGLIE et son onde associée, la fonction d’onde ψ de SCHRÖDINGER et la théorie d’HEISENBERG et ses tables, à laquelle on peut rattacher celle de DIRAC. Ces diverses approches finiront pas se marier et constitueront une nouvelle Mécanique quantique.

La Mécanique quantique nous oblige à renoncer à une vision classique de l’univers. Des notions telle que celle de trajectoire d’une particule n’ont plus de signification matérielle. Le comportement des objets quantiques est régi par des lois probabilistes et le déterminisme auquel la physique classique nous a habitué doivent être abandonnés. L’image de la couronne planétaire tournant autour du noyau vole en éclat et est remplacée par une entité purement mathématique; l’objet disparaît au profit d’une notion abstraite. Cela s’avérera encore plus lorsque nous aborderons l’étude du noyau.

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Une réflexion sur “V. – La quantification de l’atome

  1. Bonjour,

    Merci pour votre article.
    Voyez mon blog :
    http://flechedutemps.blogspot.fr/

    Cordielement

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